Question

求微分方程yy''=y‘y^2+(y')^2的通解

Answer 1

yy''+(y')^2=(yy')'=y'
所以yy'=y+c1 ,c1为常数
ydy/dx=y+c1
y/(y+c1)dy=dx
[1-c1/(y+c1)]dy=dx
y-c1ln(y+c1)=x+c
所以解为x=y-c1*ln(y+c1)+c,c,c1为常数

Answer 2

解：微分方程为yy"=y'y²+y'²，化为yy"-y'²=y²y'，
(yy"-y'²)/y²=y'，(y'/y)'=y'，y'/y=y+a(a为任意常数)，
ay'/[y(y+a)]=a，ady/[y(y+a)]=a，dy/y-dy/(y+a)=a，ln|y|-ln|y+a|=ax+ln|c|(c为任意非零常数)，微分方程的通解为y/(y+a)=ceᵃˣ