Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x^3+2相切，则则双曲线的离心率为

Answer 1

由抛物线x²/a²-y²/b²=1，
设渐近线y=±bx/a，
取y=bx/a与y=x^3+2有一个交点P(xo,yo)，
∴切线的斜率k=y'=3x^2|(x=xo)=3xo^2=b/a,
bxo/a=xo^3+2
3xo^3=xo^3+2
xo^3=1
xo=1,yo=1+2=3
∴b/a=3
在第一象限b=3a，
离心率e=√[（b²/a²）+1]=√10

Answer 2

y=x³＋2
则：
y'=3x²
设切点是(m，m³＋2)
则切线方程是：
y=(3m²)(x－m)＋(m³＋2)
即：
y=3m²x－2m³＋2
这条切线就是双曲线的渐近线，则：
－2m³＋2=0
m=1
则：切线是：y=3x
也就是：b/a=3
b²=9a²
9a²=c²－a²
c²=10a²
e²=c²/a²=10
e=√10