Question

数学高一必修5 正弦余弦定理的题

① △ABC中，A=30°3a=根号下3b=12
② △ABC中,cosA=1/4 若a=4 b+c=6 且b＜c 求b c
③ △ABC中,B=60°且最大边与最小边之比为(根号下3根号完+1):2求最大角

Answer 1

第一个问题：
∵3a＝√3b＝12，∴a＝4、b＝4√3，又A＝30°，∴sinA＝1/2，cosA＝√3/2。
由正弦定理，有：b/sinB＝a/sinA，
∴4/sinB＝4√3/sim30°＝4√3/（1/2）＝8√3，∴sinB＝4/（8√3）＝1/（2√3）＝√3/6。
∴cosB＝√33/6，或cosB＝－√33/6。

一、当cosB＝√33/6时，有：
cosC
＝cos（180°－B－A）＝－cos（B＋A）＝sinBsinA－cosBcosA
＝（√3/6）×（1/2）－（√33/6）×（√3/2）＝√3/12－√11/4。
∴由余弦定理，有：
c^2
＝a^2＋b^2－2abcosC＝16＋48－2×4×4√3×（√3/12－√11/4）＝64－8＋8√33＝56＋8√33，
∴c＝2√（14＋2√33）。

二、当cosB＝－√33/6时，有：
cosC
＝cos（180°－B－A）＝－cos（B＋A）＝sinBsinA－cosBcosA
＝（√3/6）×（1/2）－（－√33/6）×（√3/2）＝√3/12＋√11/4。
∴由余弦定理，有：
c^2
＝a^2＋b^2－2abcosC＝16＋48－2×4×4√3×（√3/12＋√11/4）＝64－8－8√33＝56－8√33，
∴c＝2√（14－2√33）。

第二个问题：
∵b＋c＝6，∴b^2＋c^2＋2bc＝36。······①
由余弦定理，有：b^2＋c^2－2bccosA＝a^2，∴b^2＋c^2－（1/2）bc＝16。······②
由①、②，得：（5/2）bc＝20，∴bc＝8。
∵b＋c＝6、bc＝8，∴由韦达定理可知，b、c是方程x^2－6x＋8＝0的根。
由x^2－6x＋8＝0，得：（x－4）（x－2）＝0，∴x＝4，或x＝2。
∴b、c中一者是4，另一者是2，即：b＝4、c＝2；或b＝2、c＝4。

第三个问题：
当B是△ABC中最大或最小的角时，△ABC是等边三角形，此时最大边和最小边的比是1∶1。
与题目给定的条件相矛盾。
不失一般性，设A最大，则C最小，∴a最大，c最小，∴a/c＝（√3＋1）/2。
∴结合正弦定理，容易得出：sinA/sinC＝（√3＋1）/2，
∴2sinA＝（√3＋1）sinC＝（√3＋1）sin（180°－B－A）＝（√3＋1）sin（B＋A），
∴2sinA＝（√3＋1）sin（60°＋A）＝（√3＋1）（sin60°cosA＋cos60°sinA），
∴2sinA＝（√3＋1）［（√3/2）cosA＋（1/2）sinA］，
∴4sinA＝（√3＋1）√3cosA＋（√3＋1）sinA，
∴（3－√3）sinA＝（√3＋1）√3cosA，
∴（√3－1）sinA＝（√3＋1）cosA，
∴（3－1）sinA＝（√3＋1）^2cosA＝（3＋2√3＋1）cosA＝（4＋2√3），
∴tanA＝2＋√3，∴A＝75°，∴△ABC中的最大角是75°。