Question

证明函函数不可微

Answer 1

函数 f(x,y) 对 y 的偏导数：ðf/ðx=x/√[x²+(y²)²]；
当 y≠0 时，lim{x→0+}{ðf/ð行雹宴x}= lim{x→0-}{ðf/ðx}=lim{x→0}{x/√[x²+(y²)²]}=lim{x→0}{/√[(y²)²]}=0；
当 y=0 时，lim{x→0+}{ðf/ðx}=lim{x→0}{x/√(x²)}=lim{x→0}{x/|x|]}=2；
lim{x→档银0-}{ðf/ðx}=lim{x→0}{x/√(x²)}=lim{x→0}{x/|x|]}=-2；
由上可见，函数 f(x,y) 在 x=0 处的偏导数并不确定，亦即在该点对x的偏导数不存在；
函数f(x,y)对 y 的偏导数有类似情况；
因此，在原点(0,0)处函数肆困 f(x,y) 不可微；

函数可微的条件，请参考：http://wenku.baidu.com/view/3e85ca252f60ddccda38a0de.html

追问

当y=0 时，x在0的左右极限不相等，
所以函数 f(x,y) 在 x=0 处的偏导数并不确定，即在该点对x的偏导数不存在？？

也就是无论当 y≠0 时还是当 y=0 时，只要有x在0的左右极限不相等，
就能得出该点对x的偏导数不存在？？

追答

多元函数的导数问题很复杂哟；从导数原始定义入手，函数增量与自变量增量之比有极限，这个极限就叫作该点处的导数，一个点对应的导数应该是唯一的吧；导数不存在也就没法做微分了。

追问

是好复杂啊,那我刚才从你的回答中总结出来的那样,是对的吗??

追答

我看应全部都有是对的；
还是不要纠结于这些问题，中学阶段没必要再做这种题（考试也许能沾连点这方面的内容），实际中基本上没有这种情形。