Question

已知二次函数f(x）=ax2+bx+c,满足f(0)=f(1)=0,且f(x)的最小值为负四分之一求f(x)的解析式

设g(x)=-三分之二x2-f(x)f`(x),且0<x<二分之一，求g(X)的最小值以及对应的x值

Answer 1

f(0)=f(1)=0
代入x=0，也就是：c=0
f(0)=f(1)即对称轴-b/(2a)为1/2，a=-b
有最小值，即：a＞0
则当达到对称轴x=1/2时取得最小值-1/4
a/4+b/2=-1/4
解得b=-1，a=1
f（x）=x²-x

f‘（x）=2x-1
g（x）=-2x²/3-（x²-x）（2x-1）=-2x³+7x²/3-x
求导：g’（x）=-6x²+14x/3-1
在（0,1/2）上g‘（x）恒负，g（x）单调递减
由于原本最小的g（1/2）取不到
所以无最小值