Question

平面直角坐标系中,直线L的参数方程是x=t,y=√3t

平面直角坐标系中，直线L的参数方程是x＝t,y＝√3t 以坐标原点为极轴，x轴的正半轴为极轴，建立直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4ρ²cosaθ-4ρsinθ+3=0 (1)求直线l的极坐标方程θ(2)若直线l与曲线C相交与A,B两点，求lABl.

Answer 1

（1）从参数方程 x=t、y=√3t 消去 t 得直线 L 的直角坐标方程：y=√3x；
以 x=ρcosθ、y=ρsinθ 代换L：ρsinθ=√3ρcosθ，即 tan=√3，此即为L 的极坐标返程式；
（2）曲线C：4ρ²cosθ-4ρsinθ+3=0；
由直线L方程求得：cosθ=1/2、sinθ=√3/2 或 cosθ=-1/2、sinθ=-√3/2；
分别带入C方程：2ρ²-2√3ρ+3=0，-2ρ²+2√3ρ+3=0；
第一式无实数解，说明两线未在该部位相交；由第二式解得 ρ=(√3±3)/2；
|AB|=|ρ1-ρ2|=2*(3/2)=3；

Answer 2

（1）直线l的参数方程为标准型
x＝?2+
1
2
t
y＝2+
3
2
t
（t为参数），
代入曲线c方程得t2+4t-10=0，设a，b对应的参数分别为t1，t2，
则t1+t2=-4，t1t2=-10，
∴|ab|=|t1-t2|=2
14
．
（2）点p在直线l上，中点m对应参数为
t1+t2
2
=-2，
由参数t几何意义，
∴点p到线段ab中点m的距离|pm|=2．