Question

4x^2-5xy+4y^2=5 求x^2+y^2的最小值

Answer 1

• 首先分析x^2+y^2≥ 2xy    即取x^2+y^2= 2xy时取得最小值

• 在化简4x^2-5xy+4y^2=5

• 即4（x^2+y^2）-5xy=5

• 所以8xy-5xy=5

• 即xy=5/3   所以x^2+y^2= 2xy的最小值为2x5/3=10/3
  

Answer 2

4x²－5xy＋4y²=5
则：
x²＋y²=(5/4)(1＋xy)
又：x²＋y²≥2xy，则：
xy≤(1/2)(x²＋y²)
则：
x²＋y²≤(5/4)[1＋(1/2)(x²＋y²)]
得：
(13/8)(x²＋y²)≤5/4
x²＋y²≤10/3
即：x²＋y²的最大值是10/3

【题目有没有写错？是不是应该求x²＋y²的最大值？？】

Answer 3

4x^2-5xy+4y^2=5
2.5x^2-5xy+2.5y^2+1.5x^2+1.5y^2=5
2.5*(x-y)^2+1.5*(x^2+y^2)=5
x^2+y^2=(5-2.5*(x-y)^2)/1.5
当5-2.5*(x-y)^2=0，即（x-y）^2=2时，x^2+y^2=0为最小值。

Answer 4

4(x^2+y^2)=5+5xy
x^2+y^2>=2xy
4(x^2+y^2)>=8xy
5+5xy>=8xy
3xy<=5
2xy<=10/3,
x^2+y^2>=2xy,x^2+y^2的最小值=10/3.