Question

1+tan22.5°怎么解？

Answer 1

要求1+tan22.5°的值，可以使用三角函数的半角公式进行求解：
tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan^2(θ))
将θ = 22.5°代入上式，得到：
tan(45°) = 2tan(22.5°) / (1 - tan^2(22.5°))
由于tan(45°) = 1，因此可以将上式变形为：
1 = 2tan(22.5°) / (1 - tan^2(22.5°))
移项并整理，得到：
1 - tan^2(22.5°) = 2tan(22.5°)
将左边的式子变形，得到：
cos^2(22.5°) = 2sin(22.5°)cos(22.5°)
由于sin(22.5°) = cos(67.5°)，因此上式可以继续变形为：
cos^2(22.5°) = 2cos(67.5°)sin(22.5°)
将右边的式子变形，得到：
cos^2(22.5°) = sin(90°)sin(22.5°)
由于sin(90°) = 1，因此上式可以继续变形为：
cos^2(22.5°) = sin(22.5°)
两边同时开方，得到：
cos(22.5°) = sqrt(sin(22.5°))
由于cos(22.5°) = sqrt(2 + sqrt(2)) / 2（可通过角分半公式推导得到），因此可以将上式代入得到：
sqrt(2 + sqrt(2)) / 2 = sqrt(sin(22.5°)) + 1
因此，1 + tan22.5°的值约等于1.4142。

Answer 2

一般情况下，三角函数我们需要用到以下公式：

sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ

tan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1∓tanαtanβ)

其中，α和β为任意两个角度。

但是，对于这种特殊的角度，我们可以用角度的半角公式，将其转化为已知角度的三角函数值来计算。

tan(22.5°) = tan(45°/2) = (1-cos45°)/(1+cos45°) = (1-√2/2)/(1+√2/2)

根据加法公式：tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)

则有：

tan22.5° = tan(45°/2)

tan45° = tan(22.5° + 22.5°) = (2tan22.5°)/(1-tan²22.5°)

解得：tan22.5° = (√2-1)

因此，1+tan22.5° = 1+ (√2-1) = 2-√2

因此，1+tan22.5°等于2-√2。