Question

这里极限为什么不能用等价无穷小替代，x/3x＝1/3？为什么一定要用洛必达法则

Answer 1

解答：

1、无穷小等阶代换，不是什么情况下都可以的，只是在单个比值的情况下可以使用，
一般情况下，尤其有加减运算的情况下，出错可能性极高，并不适用于普遍情况。

2、tanx 的等阶无穷小代换，并不是在x→0时才适用，这是误导。
问题并不在于x趋向于什么，而在于函数tanx趋向于什么！
举例来说：
例一：lim tanx / x = 1 (x 是弧度制，x in radiant)
x→0
例二：lim tanx / x = 180/π (x 是角度制，x in degree)
x→0
从这两个例子，我们看出，为什么微积分中的三角函数都必须是弧度制。
例三：lim tan(π - x) / (π - x) = 1
x→π
从第三个例子可以看出，不在于x趋向于什么，而在于分子分母各趋向于什么。
在x→π时，tan(π-x) 跟 (π-x) 是等阶无穷小。

3、在x→½π，我们通常会有两种说法：
一是tanx的极限不存在，这个说法是对的。
二是tanx的极限是∞，这个说法似是而非。
第一、当x→½π，tanx有两个极限，左极限是+∞，右极限是-∞，一正一负，
又是趋向于无穷大，自然不存在；
第二、我们可以自我圆场，说在主值范围内，那可以勉强说得过去，
那就是极限为正无穷大；
第三、我们所有的教师，平时养成了前后矛盾的性格，一会儿我们说无穷大
不是一个具体的数，所以极限不存在；一会儿我们又说tanx在½π处
的极限是+∞。我们都听习惯了，我们自己也麻木了。

4、楼主的题目中，tanx 无论左极限，还是右极限，都不是趋向于0，而是趋向于
正负无穷大，分母也是趋向于正负无穷大。等阶无穷小代换，顾名思义，是在
很小很小趋向于无穷小的时候的等阶代换，而不是等阶无穷大代换。所以不可
直接使用等阶无穷小代换。

5、如果楼主还是想用等阶无穷小代换解答本题，也是可以的，做一个代换就可以了。
令x = u + ½π，当x→½π时，u→0；原极限变为：
lim tanx / 3x
x→½π
= lim tan(u + ½π) / tan3(u + ½π)
u→0
= lim (-cot u) /(- cot3u)
u→0
= lim tan(3u) / tanu
u→0
(到这里，楼主就可以运用等阶无穷小代换了)
= lim (3u) /u
u→0
= 3

Answer 2

因为这里是x->π,不是x->0
tanx，及tan3x不是无穷小，而是无穷大。
而tanx~x只是当x->0时才成立。
所以这里不能用等价无穷小替代。

Answer 3

由于这里是X->π，而不是x> 0
坦和tan3x无穷小，但无限的。
坦?X时X-> 0时成立。
所以在这里不能用等价无穷小的替代品。

Answer 4

因为只有当x→0时，tanx~x才成立