Question

数学归纳法难题！！！大神进！！！

Answer 1

logax=t
x=a^t
f(t)=a[a^(2t)-1]/[﹙a²－1﹚a^t]
=a[a^t-a^(-t)]/﹙a²－1﹚
f(x)=a[a^x-a^(-x)]/﹙a²－1﹚，x∈R

当a∈﹙0,1﹚时，a/﹙a²－1﹚＜0，

a^x，-a^(-x)递减，∴a^x-a^(-x)递减

∴f(x)=a[a^x-a^(-x)]/﹙a²－1﹚递增

当a＞1时，a/﹙a²－1﹚＞0
a^x，-a^(-x)递增，∴a^x-a^(-x)递增
∴f(x)=a[a^x-a^(-x)]/﹙a²－1﹚递增
∴任意a，f(x)=a[a^x-a^(-x)]/﹙a²－1﹚递增

所以它的图像上不存在两个不同点满足过这两点的直线与x轴平行
∵f(x)=a[a^x-a^(-x)]/﹙a²－1﹚递增

∴f(x)=a[a^x-a^(-x)]/﹙a²－1﹚

易证f(2)=a+1/a＞2
假设f（n）＞n
即a[a^n-a^(-n)]/﹙a²－1﹚＞n

∴f（n+1）=a[a^﹙n+1﹚-a^(﹣1-n)]/﹙a²－1﹚

=a²[a^﹙n﹚-a^(﹣2-n)]/﹙a²－1﹚
=a²[a^﹙n﹚-a^(-n)／a²]/﹙a²－1﹚
=a²[a^﹙n﹚-a^(-n)﹢﹙a²-1﹚a^(-n)／a²]/﹙a²－1﹚
=a²[a^﹙n﹚-a^(-n)]/﹙a²－1﹚＋[a²﹙a²-1﹚a^(-n)／a²]/﹙a²－1﹚
=a·a[a^n-a^(-n)]/﹙a²－1﹚＋a^(-n)
＞an＋a^(-n)

=a+a+……+a＋a^(-n)
≥（n+1）·1^[1／﹙n+1)]

=n+1