Question

如图,圆O与圆O'相交于A,B两点,点O在圆O’上，圆O’的弦OC交AB于点D，交圆O于点E，求证：点E为△ABC的内心

Answer 1

连AE,OB
因为圆O与圆O'相交于A,B两点
所以OA弧=OB弧
所以∠ACO=∠BCO
所以OC是∠ACB的平分线
因为在圆O'中，∠BOC和∠BAO是弧BC所对的圆周角
所以∠BOC=∠BAC
因为在圆O中，∠BOE和∠BAE是弧BE所对圆心角和圆周角
所以∠BOC=2∠BAE
所以∠BAC=2∠BAE
所以AE是∠BAC的平分线
所以点E为△ABC的内心

Answer 2

作OF⊥CA延长线于F，OD⊥CB于D
∵OA=OB，O1A=O1B，OO1是公共边
∴△AOO1≌△BOO1
∴∠AO1O=∠BO1O
∴弧OA=弧OB
∴∠ACO=∠BCO，即CE是∠ACB的平分线
∴OF=OD，
又∵OA=OM
∴RT△OAF≌RT△OMD (HL)
同理RT△COF≌RT△COD (HL)
∴∠AOF=∠MOD，∠COF=∠COD
∴∠COA=∠COM
∴弧AE=弧EM
∴∠ABE=∠MBE，即BE是角ABC的平分线
∴E是△ABC的角平分线的交点
∴E是△ABC的内心。