Question

∫1/(1+2x)(1+x^2)dx这个怎么算的？

我知道要化简，，但是怎么化简呢？？

Answer 1

1/(1+2x)(1+x^2)=4/5(1+2x)+(1-2x)/5(1+x^2)
∫1/(1+2x)(1+x^2)dx=∫[4/5(1+2x)+(1-2x)/5(1+x^2)]dx=2/5ln(1+2x)+arctanx-ln(1+x^2)+C

追问

1/(1+2x)(1+x^2)=4/5(1+2x)+(1-2x)/5(1+x^2)

这里怎么化的啊哥哥，有什么公式的吗？

追答

用待定系数法，1/(1+2x)(1+x^2)=A/(1+2x)+（Bx+c）/(1+x^2)
两边同乘(1+2x)(1+x^2)
得到（Bx+c）(1+2x)+A(1+x^2)=1
然后令x=-1/2，算得A=4/5
令x=0，c+A=1，得C=1/5
令x=1，(B+C)/3+2A=1
又得到B=-2/5
所以
1/(1+2x)(1+x^2)=4/5(1+2x)+(1-2x)/5(1+x^2)

追问

懂了，，能不能麻烦一下，列举一下其他不同的不等式的待定系数应该设为什么，，我的意思是，，例如分母包含什么，，分子就是a,或者B，或者BX+D，，我想了解分子应该设为什么，

追答

这个，很简单。如果是一次式，那分子设为常数，若是n次多项式，则分子设为n-1次多项式，
不过要记住，若次数是大于2次，比如1/(x+2)(x+1)^3
分母里有个三次的，这时1/(x+2)(x+1)^3=A/(2+X)+(BX+C)/(X+1)^2+(DX^2+EX+F)/(X+1)^3+g/(x+1)
这里x+1的次数从1到三都要有，