微积分证明
求证当n→+无穷时，1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/(n-1)-1/n=0.7我是用MatLab将n设置为10^10算出来的，请问能不能从理论证明一下，谢...
求证当n→+无穷时，1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-…+1/(n-1)-1/n=0.7
我是用MatLab将n设置为10^10算出来的，请问能不能从理论证明一下，谢谢。 展开
我是用MatLab将n设置为10^10算出来的，请问能不能从理论证明一下，谢谢。 展开
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设那个和为S[n]
当n为偶数时，设n=2k
S[2k]1+1/2+1/3+...+1/(2k)-2(1/2+1/4+1/6+...+1/(2k))=1+1/2+1/3+...+1/(2k)-(1+1/2+1/3+...+1/k)=1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(2k)
因为(1+1/n)^(1/n)<e<(1+1/n)^(1/(n+1))
所以1/(n+1)<ln((n+1)/n)<1/n
所以1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(2k)<ln(2k/k)=ln2
1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(2k)>ln((2k+1)/(k+1))→ln2
由夹逼定理知：极限为ln2
当n为奇数时，设n=2k+1，则S[2k+1]=S[2k]+1/(2k+1)→ln2
综上，极限为ln2，不是0.7
当n为偶数时，设n=2k
S[2k]1+1/2+1/3+...+1/(2k)-2(1/2+1/4+1/6+...+1/(2k))=1+1/2+1/3+...+1/(2k)-(1+1/2+1/3+...+1/k)=1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(2k)
因为(1+1/n)^(1/n)<e<(1+1/n)^(1/(n+1))
所以1/(n+1)<ln((n+1)/n)<1/n
所以1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(2k)<ln(2k/k)=ln2
1/(k+1)+1/(k+2)+...+1/(2k)>ln((2k+1)/(k+1))→ln2
由夹逼定理知：极限为ln2
当n为奇数时，设n=2k+1，则S[2k+1]=S[2k]+1/(2k+1)→ln2
综上，极限为ln2，不是0.7
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