Question

若f(x)在(-∞，+∞）内连续，证明：1，若f(x)为奇函数，则∫（0，x）f(t)dt为偶函数；2，若f(x)为偶函数

，则∫（0，x）f(t)dt为奇函数

Answer 1

令u=-t
若f(x)为奇函数,∫（0，x）f(t)dt记作G1(x)

G1(-x) = ∫（0，-x）f(t)dt

= ∫（0，x）f(-u)d(-u)
= ∫（0，x）f(u)d(u)
= ∫（0，x）f(t)dt
=G1(x)

若f(x)为偶函数,∫（0，x）f(t)dt记作G2(x)

G2(-x) = ∫（0，-x）f(t)dt
= ∫（0，x）f(-u)d(-u)
= -∫（0，x）f(u)d(u)
= -∫（0，x）f(t)dt
=G2(x)

追问

G2(-x) = ∫（0，-x）f(t)dt
= ∫（0，x）f(-u)d(-u) 上面是 ∫（0，-x） 下面怎么就变成 ∫（0，x）了？ 没看懂

追答

用 t= -u, 代换
t= 0时，-u=0， u=0；
t = -x时，-u=-x， u=x；

u从x变化到0， 就是-u从 -x变化到0， 就是t从 -x变化到0。所以代换之后
对t的∫（0，-x） 就变成对u的∫（0，x）了

追问

这一步懂了 那
= ∫（0，x）f(-u)d(-u) 一式
= -∫（0，x）f(u)d(u) 二式
一式子 是怎么 变到2式的 不应该是 -∫（0，x）f(-u)d(u) 为什么是 -∫（0，x）f(u)d(u)

追答

∫（0，x）f(-u)d(-u)

对d(-u)计算 d(-u) = -du
= - ∫（0，x）f(-u)du

偶函数f(-u) = f(u)
=-∫（0，x）f(u)d(u)