Question

已知函数f(x)=4^x-4×2^(x-a),a∈R,(-------4的x次方-4×2的(x-a)次方)

(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.(2)当x∈(-∞,a]时,不等式f(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）当a=1时f(x)=(2^x-1)^2-1
令(2^x-1)^2-1=0
则2^x=2或2^x=0
考虑到2^x>0
解得x=1
即f(x)的零点为x=1

（2）易知f‘(x)=2ln2*2^x[2^x-2^(1-a)]
令f'(x)=0
注意到ln2>0，2^x>0
则有2^x-2^(1-a)=0
即x=1-a
当x<1-a时f'(x)<0，f(x)递减
当x>1-a时f'(x)>0，f(x)递增
表明x=1-a为f(x)的极小值点

显然lim(x→-∞)f(x)=0
而f(1-a)=2^(1-a)[2^(1-a)-2^(2-a)]<0（注意到1-a<2-a）
则当x≤1-a时f(x)<0，满足条件

因x>1-a时f(x)递增
若a>1-a（此时a>1/2）
则当1-a<x≤a时f(x)max=f(a)=4^a-4
要使1-a<x≤a时f(x)≤1
则必有f(x)max≤1
即4^a-4≤1
解得a≤log4(5)

综上知实数a的取值范围为(-∞,log4(5)]