Question

数学问题,急求!!!!过程!!!!

设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos（B +C） sin²A/2=5/4.

（1）求角A大小?

（2）若AB(向量,→)·AC(→)=-1 ,求BC边上的高AD长的最大值?

Answer 1

（1）cos(B +C)+ sin²(A/2)=5/4，

-cosA+sin²(A/2)=5/4，

-[1-2sin²(A/2)]+sin²(A/2)=5/4,
sin²(A/2)=3/4,

sin(A/2)=√3/2,（sin(A/2)=-√3/2<0，舍去）,

A/2=π/3(A/2=2π/3>π/2，舍去），

A=2π/3
（2）AB(向量,→)·AC(→)=|AB|*|AC|*cosA=-1/2*|AB|*|AC|=-1,|AB|*|AC|=2,
|BC|²=|AB|²+|AC|²-2*|AB|*|AC|*cosA=|AB|²+|AC|²+2≥2|AB|*|AC|+2=6，
所以|BC|≥√6，(|AB|=|AC|时，不等式“=”成立)，
S△ABC=1/2*|AB|*|AC|*sinA=1/2*|BC|*|AD|，
所以|AD|=[|AB|*|AC|*sinA]/|BC|=√3/|BC|≤√3/√6=√2/2，（|AB|=|AC|=√2时，|AD|取得最大值）。