Question

设函数fx=|x-a|+2x,其中a＞0当a=2时，求不等式fx≥2x+1的解集

第2问 若x∈（-2,+无穷）时，恒有fx＞0,求a的取值范围

Answer 1

fx≥2x+1
|x-2|+2x≥2x+1
|x-2|≥1
x≥3或 -1≥x

(2)恒有fx＞0
|x-a|+2x＞0
当x≥a时：
3x-a＞0
3x＞a 因为x∈（-2,+无穷）
所以，-6＞a 符合x≥a
所以，-6＞a 成立

当a＞x时：
x+a＞0
a＞-x 因为x∈（-2,+无穷）
所以，a＞2 符合a＞x
所以，a＞2 成立

综上所述，所以 -6＞a 或 a＞2

Answer 2

法1：数形结合
f(x)>0在x∈（-2，+∞）上恒成立，即x-a|>-2x恒成立。
分别做C1：y=|x-a|与C2：y=-2x的图象，临界点是A（-2,4）
C1与x轴的交点是B（a,0）,设直线AB的斜率k
由图象的性质可得，
当a》0时，k《-1，得a》2
当a<0时，k》1,得a《-6
综上，a《-6或a》2

法二，去绝对值，分类讨论