Question

设曲线y＝x＋1/x－1在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋1垂直，则a等于

Answer 1

y＝x＋1/x－1
求导y'=1-1/x²
曲线在点(3,2)处切线的斜率
k=y'|(x=3)=1-1/9=8/9
又直线ax＋y＋1=0即y=-ax-1的斜率k'=-a
而切线与直线ax＋y＋1垂直
∴k*k'=-1即8/9*(-a)=-1
∴a=9/8

Answer 2

方法一：设切线为y=x/a+b,代入（3，2），得b=2-3/a.所以切线为y=x/a+2-3/a.
联立y＝x＋1/x－1和y=x/a+2-3/a.根据△=0,可得a=9/5或1
方法二：用导数 导数 y'=1-1/x^2，设切点为（m,n），则n=m+1/m-1。
设切线为y=x/a+b,代入（3，2），得b=2-3/a.所以切线为y=x/a+2-3/a.
带入（m,n)得n=m/a+2-3/a, 再由y'=1-1/x^2得 1/a=1-1/m^2
联立n=m+1/m-1，n=m/a+2-3/a，1/a=1-1/m^2解得a=9/5或1

难点在于（3,2）不在曲线y＝x＋1/x－1上，不能直接求得切线斜率，所以a=9/8是错的。。够清楚了吧

Answer 3

y'=1-1/x^2，x=3时曲线切线的斜率k=y'=1-1/9=8/9，而直线斜率k'=-a，由于切线和直线垂直，所以k*k'=-1，即-8a/9=-1,a=9/8

Answer 4

9/8 利用导数求解