Question

函数的概念及其表示法

设函数f(x)的定义域为R+,且满足条件f(4)=1,对于任意x1,x2∈R+,有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2),当x1〉x2时,有f(x1)〉f(x2)
1.求f(1)的值
2.如果f(3x+1)+f(2x-6)《3,求x的取值范围

Answer 1

1.
令x1=x2=1.
就有：f(1*1)=f(1)+f(1) =>f(1)=0.

2.
对于任意x1,x2∈R+,有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)
=>f(3x+1)+f(2x-6)=f[(3x+1)(2x-6)] （3x+1>0,2x-6>0 =>x>3).
因为3=3*f(4)=f(4)+f(4)+f(4)
又对于任意x1,x2∈R+,有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2).
所以，就有：f(4)+f(4)+f(4)=f(16)+f(4)=f(64).
于是，就化为：
f[(3x+1)(2x-6)] <f(64) (x>3)
而当x1〉x2时,有f(x1)〉f(x2).
于是就有：
(3x+1)(2x-6)<64 （x>3）.
=>(3x+7)(x-5)<0. (x>3)
=>-7/3<x<5. (x>3)
所以，x的取值范围就为(3,5).