lim x趋于0 求1/(sinx)2-(cosx)2/x2。2代表平方
lim(x→0) 1/sin²x - cos²x / x²= lim(x→0) (x² - sin²xcos²x) / ( x²sin²x )。
从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式成立”意味着：所有下标大于N的都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。
对定义的理解：
1、ε的任意性 定义中ε的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N。
又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。
2、N的相应性 一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
lim(x→0) 1/sin²x - cos²x / x²
= lim(x→0) (x² - sin²xcos²x) / ( x²sin²x )
= lim(x→0) (x + sinxcosx)(x - sinxcsox) / x⁴ 【sinx ~ x】
= lim(x→0) (1+ cosx sinx / x) * (x - 1/2 sin 2x ) / x³
= lim(x→0) 2 * ( 1 - cos2x ) / (3x²)
= 4 / 3
完善
极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。
对“变量”特有的概念理解还不十分清楚；对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应‘变量数学’的新发展。
古代的人们习惯用旧概念常量就说明不了这种 “零”与“无限靠近零的非零数值”之间可以人为的微小距离跳跃到相等的相互转化]的科学性结论的辩证关系。
极限为4/3
数学之美团为你解答
lim(x→0) 1/sin²x - cos²x / x²
= lim(x→0) (x² - sin²xcos²x) / ( x²sin²x )
= lim(x→0) (x + sinxcosx)(x - sinxcsox) / x⁴ 【sinx ~ x】
= lim(x→0) (x + sinxcosx)/x * (x-sinxcosx) / x³
= lim(x→0) (1+ cosx sinx / x) * (x - 1/2 sin 2x ) / x³
= lim(x→0) 2 * ( 1 - cos2x ) / (3x²) 【洛必达法则】
= lim(x→0) 2 * 2sin2x / (6x) 【洛必达法则】
= 4 / 3
