Question

已知函数f(x)=x^2+lnx求函数在[1,e]上的最大值和最小值

2）求证：当x属于（1，正无穷）时，函数的图像在g(x)=2/3x^3+1/2x^2的下方

Answer 1

f(x)=x^2+lnx在[1,e]上单调增，所以最大值是f(e)=e^2+1,最小值是f(1)=1

当x=1时，g(x)=f(x)=1.当x>1时g(x)的增率高于f(x)，所以当x属于（1，+∞）时，函数的图像在g(x)=2/3x^3+1/2x^2的下方

Answer 2

解:
(1)
f(x)=x^2+lnx
f'(x)=2x+(1/x)
令f'(x)>=0
解得x∈(0,正无穷)
所以f(x)在(0,正无穷)上是增函数
所以当x属于[1,e]时
f(x)min=f(1)=1
f(x)max=f(e)=e^2+1
(2)证明:
g(x)=2/3x^3+1/2x^2
g'(x)=2x^2+x
令g'(x)>=0
解得x∈(负无穷，0][1/2，正无穷)
所以g(x)在（1，正无穷）是增函数
g(x)min=g(1)=2/3+1/2=7/6>f(1)=1
所以函数的图像在g(x)=2/3x^3+1/2x^2的下方

Answer 3

求导，得f'(x)=2x+1/x,在所给的区间内恒大于0，所以函数单调递增，所以最大值是f(e),最小值是f(1)

Answer 4

f(x)=x²+lnx
则:
f'(x)=2x+(1/x)
则函数f(x)在[1，e]上是递增的，则:
函数f(x)在[1，e]上的最大值是f(e)=e²+1
最小值是f(1)=1