Question

如图所示，在△ABC中，∠A=α, △ABC的内角平分线和外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求下列图中α与β

的关系，并加以说明
只要第三个

Answer 1

第三图
∠P＝180º－∠PCB－∠PBC
∵PB PC都是角平分线
∠PBC＝﹙180º－∠A－∠C﹚÷2
∠PCB＝﹙180º－∠A－∠B﹚÷2
∴∠P＝180º－﹙180º－∠A－∠C﹚÷2－﹙180º－∠A－∠B﹚÷2
∠P＝∠A＋﹙∠B＋∠C﹚÷2
∵∠P＝β ∠A＝α ∠B＋∠C＝180º－∠A
∴β＝α＋﹙180º－α﹚÷2＝90º－α／2

Answer 2

β=1/2α
如图（2）所示：
证明：设E为BC延长线上的点
<P=1/2<ACE-1/2<ABC
<ACE=<A+<ABC
<P=1/2(<A+<ABC)-1/2<ABC=1/2<A+1/2<ABC-1/2<ABC=1/2<A
<P=1/2<A,<P=β,<A=α
β=1/2α

Answer 3

假设 角ABC为∠1，∠ACB为∠2，∠CBP=1/2（∠A+∠2），∠BCP=1/2（∠A+∠1），所以∠β=180-1/2（∠A+∠2）-1/2（∠A+∠1）=90-3/2a