Question

泰勒展开式的问题

sinx=x-x^3/3!+o(x^3)
那个小o里的x的幂指数为什么是3呢？，如果我再展开一项，那后面就要写o(x^5)?怎么判断小o里x写多少次幂呢？非常感谢

Answer 1

你展开式中最后一项的x的次数是几o括号里就写几，o(x^3)表示比x^3更高阶的无穷小，泰勒展开式的目的就在于忽略高阶无穷小从而可以用多项式近似表示函数。

追问

同样是sinx泰勒展开式公式最后一项写的是o(x^2n+2)，又有麦克劳林展开式最后写的o(x^2n+1),前一项都一样啊，就给我整蒙了，按迈克劳林岂不是要写o(x^4)?!

追答

严格来说，这个是可以往“小”处写的，因为如果某变量是x^4的高阶无穷小，那它也一定是x^3的高阶无穷小，但实际上都是写最后一项的那个数。

追问

非常感谢，可遇见明白人了，我准备提高悬赏再麻烦你一道：今年数三考研第一题就是无穷小量阶的运算，这个性质上哪找呢？o(x)*o(x^2)=o(x^3)?

追答

这个可以当成个公理对待的，举个例子就很好理解，o(x)可以为x^2，o(x^2)可以为x^3，那么o(x)*o(x^2)=x^5=o(x^3)，如果为了应付考试理解成这样就可以了，严格的证明可以在数学分析的教材上找找，工科的高等数学教材上是不会有证明的。