Question

数列证明题

证明:正整数列a1，a2，……，a（2n+1） 是常数列的充要条件是其满足性质p:对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类（每类n个数），是的两类数之和相等

Answer 1

一、必要性：设正整数数列a(1)、a(2)、...、a(2n＋1)为常数数列，即a(1)=a(2)=...a(2n＋1)=c(c为常数)，取其中任意2n项，任意分成2组，每组n个数，每组n个数的和均为s(n)=nc，即每组n个数的和相等。二、充分性：采用数学归纳法证明。①当n=1时，正整数数列为a(1)、a(2)、a(3)，任取其中2项，取法共3种：a(1)、a(2)，a(1)、a(3)，a(2)、a(3)；按题意：a(1)=a(2)、a(1)=a(3)、a(2)=a(3)，所以a(1)=a(2)=a(3)=c；即当n=1时，数列为常数数列，命题成立；②假设n=k时命题成立(k≥1为正整数)，即a(1)=a(2)=...=a(2k＋1)=c；当n=k＋1时，数列为a(1)、a(2)、...、a(2k＋1)、a(2k＋2)、a(2k＋3)，取其中2k＋2项：a(1)、a(2)、...、a(2k＋1)、a(2k＋2)，把这2k＋2项分成2组，每组k＋1项，不管怎样分，不含a(2k＋2)的那组和，根据上面假定为(k＋1)c，含a(2k＋2)的组和为kc＋a(2k＋2)，根据题意(k＋1)c=kc＋a(2k＋2)，所以a(2k＋2)=c；若取a(1)、a(2)、...、a(2k＋1)、a(2k＋3)，将这2k＋2个数分为2组，每组k＋1个数，同上，不管怎样分，不含a(2k＋3)的一组和为(k＋1)c，含a(2k＋3)的一组和为kc＋a(2k＋3)，按题意(k＋1)c=kc＋a(2k＋3)，所以a(2k＋3)=c；综上所述，当n=k＋1时，a(1)=a(2)=...=a(2k＋1)=a(2k＋2)=a(2k＋3)=c，即当n=k＋1时，数列为常数数列，命题成立；根据归纳法原理，对所有正整数n，数列为常数数列，命题成立，性质p的充分性得证。

Answer 2

看上去很容易知道，若正数列为常数列，性质P肯定成立，所以必要性得证，因此只要证充分性就行。
将数列由小到大排列的话，得到的新数列是b1<=b2<=b3……<=b2n+1，假设Sn是数列之和，因为由于性质P1，假设抽出来的一项是bk，所以假设剩下的2n项的和必然等于某个偶数2k，所以Sn=2k+bk，也就是说如果Sn是奇数，数列必然全部是奇数，如果Sn是偶数，数列也必然全部是偶数。因为{bk}满足性质P，若bk是奇数，将Sn=2k+bk变形为Sn-n=2k-（n-1）+bk-1，也就是说新数列{bk-1}同样满足性质P，若bk是偶数，Sn/2=k+bk/2，由于k是剩下2n项偶数的和，因此k也是偶数，同样证明{bk/2}满足性质P。
从{bk}任意取相邻的两个数bk+1，bk，有bk+1-bk=2m，若bk是奇数，新数列{（bk-1）/2}可以通过上述2种变化进而满足性质P，所以也有（bk+1-1）/2-(bk-1)/2=m，m必然是一个偶数，循环下去可以证明m/2，m/4，m/8均为偶数，也就是说m必须是2的n次方才能满足原意，这与数列的任意性互相矛盾，因此，m只有一种可能就是0，同样的若bk是偶数，新数列{bk/2}证法类似上面，所以无论如何，m必须为0，也就是说{an}必须为常数列。
这个好像是某年的自招题？记得过程貌似是这样没错……