Question

设数列an的前n项和为Sn，满足an+Sn=An^2+Bn+1（A不等于0），a1=3/2,a2=9/4,求证an-n为等比数列并求an

Answer 1

解析：当n=1时，a1+S1=A+B+1；即A+B=2；
当n=2时，a2+S2=2a2+a1=2*9/4+3/2=6=4A+2B+1，即4A+2B=5
联立以上两式，可得A=1/2，B=3/2.
由题意：an+Sn=An^2+Bn+1 ①
则a(n+1)+S(n+1)=A(n+1)^2+B(n+1)+1 ②
②-①，可得：
a(n+1)-an+a(n+1)=A(2n+1)+B=n+2
2a(n+1)-an=n+2
2a(n+1)-2(n+1) = an -n
2[a(n+1)-(n+1)]=an -n
即：[a(n+1)-(n+1)]/(an -n) =1/2
由等比数例定义可知，{an-n}为以a1-1=1/2,q=1/2的等比数列。
an-n = (1/2)^n
an = n+ (1/2)^n

Answer 2

(1)
证：
a1+S1=A×1²+B×1+1
S1=a1 a1=3/2代入，整理，得
A+B=2 (1)
a2+S2=A×2²+B×2+1
a2+a1+a2=4A+2B+1
a1=3/2 a2=9/4代入，整理，得
4A+2B=5 (2)
联立(1)，(2)解得A=1/2 B=3/2
an+Sn=(1/2)n²+(3/2)n +1
an-n +Sn=(1/2)n²+(1/2)n+1

n≥2时，
a(n-1)-(n-1)+S(n-1)=(1/2)(n-1)²+(1/2)(n-1) +1
(an -n +Sn)-[a(n-1)-(n-1)+S(n-1)]=(1/2)n²+(1/2)n +1-(1/2)(n-1)²-(1/2)(n-1)-1
整理，得
2(an -n)=a(n-1)-(n-1)

(an -n)/[a(n-1)-(n-1)]=1/2，为定值。
a1-1=3/2 -1=1/2
数列{an -n}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
(2)
由(1)得
an-n =(1/2)×(1/2)^(n-1)=1/2ⁿ
an=n +1/2ⁿ
n=1时，a1=1+1/2=3/2，n=2时，a2=2+1/4=9/4，均满足通项公式
综上，得数列{an}的通项公式为an=n +1/2ⁿ。