Question

求所有正整数n,是的存在正整数x1.x2.x3。。。x2012,满足x1<x2<...<x2012且1/X1+2/X2+...2012/X2012=n

来个高手，把过程写详细了吧

Answer 1

由x(1), x(2),..., x(2012)是正整数, 且x(1) < x(2) <...< x(2012),
有x(1) ≥ 1, x(2) ≥ 2,..., x(2012) ≥ 2012.
于是n = 1/x(1)+2/x(2)+...+2012/x(2012) ≤ 1/1+2/2+...+2012/2012 = 2012.
即满足条件的正整数n ≤ 2012.

对1 ≤ n ≤ 2012, 我们构造一组x(1), x(2),..., x(2012)满足条件.
首先对前n-1项, 取x(1) = 1, x(2) = 2,..., x(n-1) = n-1 (n = 1时跳过这一步).
然后对后2013-n项, 取x(n) = n(2013-n), x(n+1) = (n+1)(2013-n),..., x(2012) = 2012·(2013-n).
此时显然有x(1) < x(2) <...< x(2012).
且前n-1项有1/x(1)+2/x(2)+...+(n-1)/x(n-1) = 1/1+2/2+...+(n-1)/(n-1) = n-1.
后2013-n项有n/x(n)+(n+1)/x(n+1)+...+2012/x(2012) = 1/(2013-n)+1/(2013-n)+...+1/(2013-n) = 1.
于是所构造的x(1), x(2),..., x(2012)满足条件.

综上, 满足条件的正整数是1至2012的所有整数.