Question

以主直径为坐标轴化简二次曲线x²-3xy²+y²+10x-10y+21=0的方程，并作出它的图形

Answer 1

利用坐标旋转公式：x=x1*cosθ-y1sinθ，y1=y1*cosθ+x1*sinθ；其中x1、y1为点在新坐标系下的坐标；

代入二次曲线方程得：(x1*cosθ-y1sinθ)²-3(x1*cosθ-y1sinθ)(y1*cosθ+x1*sinθ)+(y1*cosθ+x1*sinθ)²+10(x1*cosθ-y1sinθ)-10(y1*cosθ+x1*sinθ)+21=0；   

化简如下：

x1²+y1²-3x1*y1(cos²θ-sin²θ)-3x1²sinθcosθ+3y1²sinθcosθ+10x1(cosθ-sinθ)-10y1(sinθ+cosθ)+21=0；

令 θ=45°即可消去x1*y1项：-x1²/2+5y1²/2-10√2*y1+21=0；

整理为标准方程形式：5(y1-2√2)²/2-x1²/2+1=0 →→ x1²/2-(y1-2√2)²/(2/5)=1；

原方程所表示的是一条双曲线，实半轴 a=√2（平行于直线 y=x），虚半轴 b=√(2/5)（在直线 y=-x ），中心离开原点2√2（在原坐标系的第二象限(-2,2)）；参考下图：