Question

若点P在抛物线y^2=4x上，则点P到点A（2,3）的距离与点P到抛物线焦点的距离之差的最大值和最小值？

Answer 1

抛物线焦点为 F（1，0），|AF|=√[(2-1)^2+(3-0)^2]=√10 ，
（1）根据三角形两边之差小于第三边得 |PA|-|PF|<=|AF|=√10 ，
当 P 是射线 AF 与抛物线的交点时（即 P 坐标为（(11-2√10)/9 ，(2-2√10)/3）时）所求值最大，为 √10 ；
（2）设 P 在抛物线准线 x= -1 上的射影为 Q，则由抛物线定义，|PQ|=|PF| ，
因此 |PA|-|PF|=|PA|-|PQ|>= -|AQ|= -3 ，
当 PA// x 轴时（即 P 坐标为（√3/2，3）时）所求值最小，为 -3 。

追问

我对这个（2）有疑问 （1）里考虑|AF|是最大值 （2）里为什么不考虑-|AF|呢 毕竟-√10要比-3小啊 为什么（2）里一定要转化成|PQ|呢

追答

因为 A 点在抛物线开口外部，因此 P 可以到达 AF 的延长线上，但到达不了 FA 的延长上。所以只有另辟蹊径，把 PF 转化为 PQ 。这时 P 可以到达 A1A 的外部。

如图，|PA|-|PF|=|PA|-|PQ| ，由于 |PA|+|AA1|>=|PQ| ，

因此 |PA|-|PQ|>= -|AA1|= -3 ，

所以所求最小值为 -3 ，此时 P 坐标为（9/4，3）。（前面的坐标有误，以此为准）