Question

如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？

Answer 1

水面高度正好是圆锥高度的一半，就是水的半径：圆锥的半径=1:2 高的比=1:2
体积比是1×1×1:2×2×2=1:8
设还能装水x升
1:8=5:5+x
x=35
则这个容器还能装35升

Answer 2

圆锥的体积=1/3*S*H
假设目前水面半径为r，则装满水时水面半径为2r
装满水时容积=1/3*π*（2r）^2*h=（1/3*π*r^2*1/2h）*8=5*8=40升
所以这个容器还能装40-5=35升水

追问

为什么装满水时水面半径为2r？？

追答

水面与圆锥底面平行，沿圆锥顶点和半径做截面形成三角形，有水的三角形和整个圆锥截面三角形相似，圆锥底面半径/水面半径=h/(1/2h)，即圆锥底面半径=2r

追问

如图所示，圆锥形容器中装有水，水体积是圆锥的8/27，这个水面高度是容器高度的几分之几？

追答

2/3

追问

过程呢

追答

圆锥的体积=1/3*S*H=1/3*π*r^2*h，设水面半径r，高h，圆锥半径R，高H
如前所述，圆锥半径/水面半径=圆锥高度/水面高度，即R/r=H/h，r=hR/H
水的体积=1/3*π*r^2*h
圆锥的体积=1/3*π*R^2*H
r^2*h=(hR/H)^2*h=h^3*R^2/(H^2)=8/27*R^2*H
h^3/(H^3)=8/27
h/H=2/3