Question

高数不定积分凑微分法中求K问题

本人大一，最近学凑微分法，凑那个常数K时，老师说可以口算，但是我觉得非常纠结
大体好像是 g(x)dx=kdf(x)
然后我对f(x)求导，一开始我以为k=g(x)/f'(x)但是发现不对
后来我认为k=g(x)前面的系数/f'(x) 这样貌似解决了一些问题，
但是在碰到下题 2/x^2dx=kd(1/x-2)时，由于X位于分母，又不知道系数该取什么
在此求大神 告诉我做这类题目的一般方法，最好说详细点，书上讲的很有限，我把书上的章节看了好几遍还是纠结。
这个问题没解决，那凑微分法后续的许多题目真的没法做，真心求解！

Answer 1

你的思考方向错了，其实这个很简单的，就是用初等函数的求导公式。举个例子，(lnx)'=1/x，写成微分形式就是(1/x)dx=d(lnx)
如果前面有系数，比如(2/x)dx=2(1/x)dx=2d(lnx)，就是在你熟悉求导公式的基础上，提一个常数出来（这里的2），使剩下的部分刚好可以用求导公式套。再比如你上面的例子，
2/x^2dx=-2(-1/x^2)=-2d(1/x)
下面我再举个例子，你看完后应该对这个问题就掌握了：
(6x^2+6x+1)dx=2*(3x^2dx)+3*(2xdx)+1dx=d(2x^3+3x^2+x)
其他函数，比如三角、指数函数的情况也是完全一样的，希望能够对你有用

Answer 2

一般而言，凑微分法的使用是十分有限的，只有建立在你知道要求函数的原函数的条件下，而凑出来的形式不一定是g(x)dx=kdf(x)，也可能得到g(x)dx=f（u)du u是关于x的函数，而g(u)是可以看出其原函数；同学你给出的题说明你求导的公式没有背牢，显然1/x^2是-1/x的倒数，故2/x^2dx=-2d(1/x),再去多背背求导公示吧。但求积分的方法还有很多，后面会学的，同学大可不必担心