Question

如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，O

OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．(要过程）

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由题意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10-6=4，
设AD=x，则BD=ED=8-x，由勾股定理，得x2 42=（8-x）2，
解得，x=3，∴AD=3．
∵抛物线y=ax2 bx c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）
∴9a 3b=1064a 8b=0​，
解得a=-
23b=
163​
∴抛物线的解析式为：y=-23x2 163x．

（2）∵∠DEA ∠OEC=90°，∠OCE ∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，∴PC=10-2t．
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴CQEA=CPED，即t4=10-2t5，
解得t=4013．
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴PCAE=CQED，即10-2t4=t5，
解得t=257．
∴当t=4013或257时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．

（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①
EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；
则：M（4，323）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，-143）；
②EC为平行四边形的边，则EC∥.MN，设N（4，m），则M（4-8，m 6）或M（4 8，m-6）；
将M（-4，m 6）代入抛物线的解析式中，得：m=-38，此时 N（4，-38）、M（-4，-32）；
将M（12，m-6）代入抛物线的解析式中，得：m=-26，此时 N（4，-26）、M（12，-32）；
综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：
①M1（-4，-32），N1（4，-38）；
②M2（12，-32），N2（4，-26）；
③M3（4，323），N3（4，-143）．

Answer 2

http://czsx.cooco.net.cn/files/down/test/2012/08/19/00/2012081900504995886495.files/image076.jpg
自己看

Answer 3

解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
由题意，△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10-6=4，
设AD=x，则BD=ED=8-x，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得，x=3，∴AD=3．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）
∴9a+3b=1064a+8b=0​，
解得a=-
23b=
163​
∴抛物线的解析式为：y=-23x2+163x．

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，∴PC=10-2t．
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴CQEA=CPED，即t4=10-2t5，
解得t=4013．
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴PCAE=CQED，即10-2t4=t5，
解得t=257．
∴当t=4013或257时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．

（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：
①
EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；
则：M（4，323）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，-143）；
②EC为平行四边形的边，则EC∥.MN，设N（4，m），则M（4-8，m+6）或M（4+8，m-6）；
将M（-4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=-38，此时 N（4，-38）、M（-4，-32）；
将M（12，m-6）代入抛物线的解析式中，得：m=-26，此时 N（4，-26）、M（12，-32）；
综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：
①M1（-4，-32），N1（4，-38）；
②M2（12，-32），N2（4，-26）；
③M3（4，323），N3（4，-143）．

Answer 4

图在哪里？