Question

如图，直线L1//L2，且L3，L4分别于L1，L2交与A,B,C,D四个点。

（1）若点P在线段AB上，试说明∠ACP,∠CPD,∠PDB的关系，并说明理由。
（2）若点P在A,B两点之间运动，问：∠ACP,∠CPD,∠PDB的关系是否发生变化？直接写出结论。
（3）若点P在直线L3上，且在A,B两点外侧运动时，试探究∠ACP,∠CPD,∠PDB的关系。（点P不予A,B重合）

Answer 1

已知直线l1∥l2，且l3、l4和l1、l2分别交于A、B和C、D两点，（如图）点P在AB上．设∠ADP=∠1，∠DPC=∠2，∠BCP=∠3
（1）探究∠1、∠2、∠3之间的关系，下面给出推导过程请你填写理由．
解：过点P作PE∥l1
∵PE∥l1（已作）
∴∠1=∠DPE（两直线平行，内错角相等）
∵PE∥l1，l1∥l2（已知）
∴PE∥l2（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠3=∠EPC（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠DPE+∠EPC
∴∠2=∠1+∠3（等量代换）
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，猜想∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）．
考点：平行线的判定与性质．
专题：推理填空题；探究型．
分析：（1）根据提示，结合平行线的性质，进行填空；
（2）由（1）中的证明过程，可知∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化；
（3）根据题意，画出图形，利用平行线的性质可推出∠1、∠2、∠3之间的关系．
解答：解：（1）过点P作PE∥l1
∵PE∥l1（已作）
∴∠1=∠DPE（两直线平行，内错角相等）
∵PE∥l1，l1∥l2（已知）
∴PE∥l2（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠3=∠EPC（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠DPE+∠EPC
∴∠2=∠1+∠3（等量代换）
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化，仍是∠2=∠1+∠3．
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，如图，可猜想∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1=∠2+∠3．
证明：如图，过点P作PE∥l1
∵PE∥l1（已作）
∴∠1=∠DPE（两直线平行，内错角相等）
∵PE∥l1，l1∥l2（已知）
∴PE∥l2（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠3=∠EPC（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠DPC+∠EPC
∴∠1=∠2+∠3（等量代换）．
当P在A的上边时，同理可得∠3=∠1+∠2．

Answer 2

解：（1）过点P作PE∥l1
∵PE∥l1（已作）
∴∠1=∠DPE（两直线平行，内错角相等）
∵PE∥l1，l1∥l2（已知）
∴PE∥l2（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠3=∠EPC（两直线平行，内错角相等）
∵∠2=∠DPE+∠EPC
∴∠2=∠1+∠3（等量代换）

（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化，仍是∠2=∠1+∠3．

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，如图，可猜想∠1、∠2、∠3之间的关系是：∠1=∠2+∠3．

证明：如图，过点P作PE∥l1
∵PE∥l1（已作）
∴∠1=∠DPE（两直线平行，内错角相等）
∵PE∥l1，l1∥l2（已知）
∴PE∥l2（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠3=∠EPC（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠DPC+∠EPC
∴∠1=∠2+∠3（等量代换）．
当P在A的上边时，同理可得∠3=∠1+∠2．