Question

在三角形ABC中，角A是60度，面积是根号3，则（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)的值为多少？

Answer 1

由面积 = 1/2 b c sinA
= 1/2 b c √3/2 = √3
推得bc=4

由正弦定理,
a/sinA = b/sinB = c/sinC
设比值 = u
则
a = u sinA
b = u sinB
c = u sinC
（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) = u

用 u = a/sinA 需要先求出 a
由余弦定理　
a² = b² + c² -2bc cosA = b² + c² - 2*4 *1/2 = b² + c² -4
>= 2bc -4 = 2*4-4 =4

所以a的最小值=2, 此时 b=c =2
u = 2/sinA = 2/(√3/2)= 4/3 *√3
　
即在a=2时　（a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)有最小值 4/3 *√3
a不等于2时(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)的值随 a 的值变化= a/sinA = 2a/3 * √3