Question

如图,点D是圆O的直径CA延长线上一点,点B在圆O上,且OA=AB=AD

若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且∠BAE=45°，BE=8，求圆O的半径长。

Answer 1

解：设圆O的半径长为r
则OA=OC=OB=r
∵ΔABC和ΔAEC为圆O的内接三角形，且AC为圆O的半径
∴ΔABC是直角三角形，且∠ABC=90º；ΔAEC是直角三角形，且∠AEC=90º
将OB连接
又OA=AB=AD
所以OA=AB=AD=OA=OC=OB=r
在直角三角形ABC中，AC=2r AB=r ∠ABC=90º,
所以 BC=根号3r ,∠ACB=30º,∠CAB=60º
所以∠DAB=120º
又AB=AD=r，所以ΔABD是等腰三角形，且∠ADB=∠ABD=30º
在ΔAOB中，OA=OB=AB=r，所以ΔAOB是等边三角形，
所以∠OBA=60º
所以∠OBD=∠ABD+∠OBA=30º+60º=90º，即ΔOBD是直角三角形
则DB=根号3r
又ΔAOB是等边三角形，所以∠OAB=60º
又∠BAE=45º
所以∠CAE=15º
在直角三角形AEC中，∠CAE=15º，∠AEC=90º，AC=2r
所以∠ACE=75º,AE=AC*sin∠ACE=2rsin75º
又sin75º=sin(45º+30º)=sin45ºcos30º+cos45ºsin30º=(根号6+根号2）/4
所以AE=2rsin75º=（根号6+根号2）r/2
在ΔABE中，
AB=r,AE=2rsin75º=（根号6+根号2）r/2, BE=8,∠BAE=45º
cos∠BAE=(AB^2+AE^2-BE^2) / 2AB*AE
然后代入数据算出得数即可。
r=4*根号2

Answer 2

解：做辅助线BP垂直AE于P
由AB=OA=OB知△AOB为等边△＝＞∠BAO=60°
∠BAE=45° ＝＞∠EAO=15°
设PA=PB=x，PE=y
由勾股定理知：2x²=r² ①; x²+y²=8² ②
在△AEO中，∠EAO=15°，AO=OE => AE x（√2+√6）=2OA x （2+√3）。（15°三角形公式）
所以（x+y)/2=r(2+√3）/（√2+√6） ③
由①②③解出 r=4√2.