Question

求解高阶微分方程问题

Answer 1

这其实根本不是一个高阶微分方程。你看看，并没有出现y，只有y的一阶导和二阶导。所以实际上让u=y'，y''=u'，然后就是u的一阶微分方程。
也就是u'-u²=0这个就是du/dx=u²是个变量已经分离的方程：du/u²=dx（注意这一步不等价转化，只有u≠0时候才能这样，因此下面还要讨论u=0的情况，但已经给了x=0时u=-1所以不存在u恒等于0的情况），两边积分有-1/u=x+C，也就是u=-1/(x+C)，代入x=0时u=-1的条件，有C=1。然后u=-1/(x+1)，y=∫udx=-ln|x+1|+c（千万不要忘了绝对值，∫dx/x=ln|x|而不是lnx），再用x=0时y=0的条件得到c=0。最终y=-ln|x+1|就完了

Answer 2

解析：
令p＝y'，则y''＝dp/dy*dy/dx＝p*dp/dy
∴原式为：p*dp/dy－p²＝0
∴dp/dy＝p
分离变量得
1/pdp＝dy
两端积分得
ln|p|＋C1＝y.
由初始条件p|(x＝0)＝y'|(x＝0)＝－1，
得C1＝0
∴y＝ln|p|，由初始条件p＝y'＜0得
p＝－e∧y
即：y'＝e∧y
分离变量，得
－e∧(-y)dy＝dx
两端积分，得
e∧(-y)＝x＋C2
∴y＝－ln(x＋C2)
由初始条件y|(x＝0)＝0得C2＝1
∴y＝ln1/(x＋1).

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