Question

已知三角形ABC的面积为S且向量AB向量AC=S 1.求tan2A的值 2.若B=π /4[向量CB-向量CA]=3 求S

只解第二题就行

Answer 1

1
AB·AC=|AB|*|AC|cosA，而：S=(1/2)|AB|*|AC|sinA，故：|AB|*|AC|=2S/sinA
故：AB·AC=(2S/sinA)*cosA=S，即：tanA=sinA/cosA=2
故：tan2A=2tanA/(1-tanA^2)=4/(-3)=-4/3
2
tanA=2>sqrt(3)，故：π/3<A<π/2
而：cos2A=(1-tanA^2)/(1+tanA^2)=(1-4)/(1+4)=-3/5，故：1-2sinA^2=-3/5
即：sinA^2=4/5，故：sinA=2/sqrt(5)，cosA=1/sqrt(5)
故：sinC=sin(π-B-A)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(sqrt(2)/2)*(2/sqrt(5)+1/sqrt(5))=3sqrt(10)/10
而：|CB-CA|=|AB|=c=3，故：sinC/c=sinB/b，即：b=csinB/sinC=3*(sqrt(2)/2)/(3sqrt(10)/10)=sqrt(5)
故三角形ABC的面积S=(1/2)*b*c*sinA=(1/2)*sqrt(5)*3*2/sqrt(5)=3
---------做得有点急，一会再看看。