Question

定积分(x-3)*根号(4-x^2)dx 上下限2，-2 用奇偶性怎么做

Answer 1

解答：
原式＝∫(x－3)√(4－x²)dx
＝∫x√(4－x²)dx－∫3√(4－x²)dx
因为f(x)＝x√(4－x²)是奇函数，所以∫x√(4－x²)dx(上限2下限-2)等于0
而g(x)＝3√(4－x²)为偶函数，所以∫(-2,2)3√(4－x²)dx＝2∫(0,2)3√(4－x²)dx
所以原式＝0－2∫(0,2)3√(4－x²)dx
＝-6∫(0,2)√(4－x²)dx.

接下来就自己算吧！有两种方法，一种是换元法！一种是令y＝√4－x²，它表示的是圆的面积的1/4

Answer 2

令x=sint,t∈(-∏/2,∏/2)
∵∫x^2•√(4-x^2)dx
=∫ (2sint)^2•√(4-(2sint)^2)d(2sint)
=∫ 4(sint)^2•2cost•2costdt
=∫16(sint)^2•(cost)^2dt
=∫16(sintcost)^2dt
=∫16(1/2•sin2t)^2dt
=∫ 16•1/4•(sin2t)^2dt
=∫ 4•(1-cos4t)/2 dt
=∫ 2dt - ∫ 2cos4tdt
=∫2dt - 1/4∫2cos4td4t
=2x-1/2•sin4t C
∴∫(上限为2,下限为0)x^2•√(4-x^2)dx
=(2x-1/2•sin4t)|(上限为2,下限为0)
=4-1/2 sin8

Answer 3

放弃
……