Question

在△ABC中,∠C>∠B,如图①，AD⊥BC与D,AE平分∠BAC，∠EAD=½（∠C－∠B）

（1）如图②，AE平分∠BAC，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D，这时∠EFD与∠B，∠C有何数量关系？请说明理由。





Answer 1

过A作AG⊥BC,垂足为G,

因为DE⊥BC,

所以DE∥AG

所以∠EFD=∠EAG

因为∠EAG=(1/2)(∠C-∠B)

所以∠DFE=(1/2)(∠C-∠B)

追问

DE∥AG怎么看都不像平行啊！！！

追答

过A作AG⊥BC,垂足为G,
因为DF⊥BC,
所以DF∥AG
所以∠EFD=∠EAG
因为∠EAG=(1/2)(∠C-∠B)
所以∠DFE=(1/2)(∠C-∠B)
提示：直接利用结论解题，方便简洁！

Answer 2

∠EFD＝90-∠FED

∠FED=180-∠C-1/2∠A (1)

∠FED=180-(180-1/2∠A-∠B)=1/2∠A+∠B (2)

(1)+(2)式为： 2∠FED＝180-∠C+∠B 即∠FED＝90-1/2∠C+1/2∠B

即：∠EFD＝90-（90-1/2∠C+1/2∠B）
∠EFD＝1/2∠C-1/2∠B

追问

对不起。。。。。

Answer 3

证明： 作AG⊥BC
已知FD⊥BC FD//AG
∠EFD=∠EAG(两种情况一样)
设∠EAG=∠EFD=a
∠CAG=x
则∠C=90°-X EA平分∠A
∠BAE=∠CAE=∠EAG+∠CAG=X+a
∠BAG=∠BAE+∠EAG=X+2a
∴∠B=90°-X-2a ∠C=90°-X
a=（（90°-X）-(90°-X-2a)）/2
∠EFD=(∠C-∠B)/2因为FD⊥BC
所以，∠EFD=90°-∠FED
而，∠FED与∠AEC为对顶角，所以：∠FED=∠AEC
而，根据三角形的外角等于不相邻的内角之和，有:
∠AEC=∠B+∠BAE
而，已知AE为∠BAC的平分线
所以，∠BAE=∠A/2
所以，∠AEC=90°-[∠B+(∠A/2)]
而，∠A+∠B+∠C=180°
所以，∠A=90°-(∠B+∠C)/2
所以，∠EFD=90°-[∠B+90°-(∠B+∠C)/2]=(∠C-∠B)/2