Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P作PQ⊥AC于Q

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P作PQ⊥AC于Q，以PQ为边向下作等边三角形PQR．设AP=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，连接RB．
（1）当x=2时，求y的值；
（2）当x取何值时，四边形AQRB是等腰梯形；当x取何值时，四边形PQRB是平行四边形．

Answer 1

①Y＝½PQ·等边△PQR的高＝½（½2）×√（1²－½²）＝½×½√3＝¼√3。
（30º所对直角边等于斜边一半；勾股定理）
②已知AQRB为等腰梯形，即AQ＝RB，故Rt△AQP≌Rt△BRP(∠A＝∠RBP＝30º)，AP＝BP；
∴ x＝AP＝½AB＝5。
③已知PQRB为平行四边形，即RQ∥＝RB，R在BC上；
x＝10－PB＝10－PQ＝10－x½，∴x＝20⅓。

Answer 2

(1)因为AP=2，角A为30，所以PQ=1，所以三角形PQR的高为 √3/2，所以y=1/2*1*√3/2=√3/4
(2)当P为AB中点，即x=5时，四边形AQRB是等腰梯形；因为△PQR为等边三角形，所以四边形PQRB为等边四边形，当x=20/3时，四边形PQRB是平行四边形。

Answer 3

1.AP=2，得出PQ=1，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积y=1*√3/2*1/2=√3/4
2.如果AQRB是等腰梯形，则AQ=BR，BR=AQ=√3/2AP,QR=PQ=1/2AP,
AP=√3/2AQ+QR+√3/2BR=√3AQ+QR=3/2AP+1/2AP=2AP，得出X=10/2=5
如果PQRB是平行四边形，则R在BC上，且BP=PQ=QR=BR=1/2AP,即
AB=AP+BP=X+1/2X=10，得出X=20/3

Answer 4

1.QP=x/2=1，y=根号3/4

2.QR//AB，ABR=30，PB=2PR=2QR=AP=10 x=5
假设是，则PQ//BR,R在BC上，CR=0.5QR=0.5QP=0.5RB
CR+RB=1.5RB=1.5QP=3AP=3X=CB=5
X=5/3

Answer 5

解： x=2
PQ=1
Sqpr=四分之根号3
2.x=5时为等腰梯形
因为 等腰梯形时 AQ=RB 且角A=∠rba=30°
所以∠RPB=60° ∠prb=90° 所以PR=1/2PB 又QP=1/2AP QP=PR 所以AP=PB=5