Question

设x=3是函数f(x)=(x^2+ax+b)e^(3-x) 的一个极值点.

.(1) 求a与b的关系式（用a表示b)，并求f(x)的单调区间
为什么x=3是极值点，则函数倒数=0中x1≠x2？

Answer 1

f'(x)=(2x+a)e^(3-x)+(x²+ax+b)e^(3-x)*(-1)
=e^(3-x)[-x²+(2-a)x+a-b]
=-e^(3-x)[x²+(a-2)x+b-a]
令f'(x)=0,∵e^(3-x)>0
∴x²+(a-2)x+b-a=0 (#)
∵x=3是f(x)的一个极值点
∴x=3时(#)的一个根
且（#）一定有2个不等的实数解
【因为若有两个相等的根，
那么x²+(a-2)x+b-a将会是一个完全平方
那么f'(x)≤0恒成立，f(x)递减，无极值】
∴9+3（a-2)+b-a=0 ==>b=-2a-3
且Δ=(a-2)²-4(b-a)>0
即(a-2)²-4(-3a-3)>0
整理a²+8a+16>0,（a+4)²>0 ∴a≠-4
∴a与b的关系式为b=-2a-3（a≠-4)
∴f'(x)= -[x²+(a-2)x-3a-3]e^(3-x)
=-(x-3)[x-(-a-1)]e^(3-x)
当a>-4时，-a-1<3
递增区间为(-a-1,3)
递减区间为 (-∞,-a-3),(3,+∞)

当a<-4时，-a-2>3

递增区间为(3，-a-1)
递减区间为 (-∞,3），（-a-3,+∞)