Question

一道 高中数学三角恒等变换试题 请高手帮助解答

Answer 1

sina＋sinb=2sin[(a＋b)/2]cos[(a－b)/2]=1/2
cosa＋cosb=2cos[(a＋b)/2]cos[(a－b)/2]=1/3
两式相除，得：
tan[(a＋b)/2]=3/2
【1】
[sina＋sinb]²＋[cosa＋cosb]²=(1/2)²＋(1/3)²
(sin²a＋2sinasinb＋sin²b)＋(cos²a＋2cosacosb＋cos²b)=13/36
2＋2sinasinb＋2cosacosb=13/36
2cos(a－b)=－59/72

【2】
cos(a＋b)=[1－tan²(a＋b)/2]/[1＋tan²(a＋b)/2]=－5/13

追问

积化和差 和 和差化积 在高中的课本上已经不考了，你这个学生一时半刻看不懂 能用通法解吗？

追答

和差化积和积化和差在人教版高一必修四上，是属于不考察的内容，这部分内容出现在课后的练习和习题中。
通法如下：
a=[(a＋b)/2]＋[(a－b)/2]、b=[(a＋b)/2]－[(a－b)/2]
则：
sina=sin[(a＋b)/2＋(a－b)/2]=sin[(a＋b)/2]cos[(a－b)/2]＋cos[(a＋b)/2]sin[(a－b)/2]
sinb=sin[(a＋b)/2－(a－b)/2]=sin[(a＋b)/2]cos[(a－b)/2]－cos[(a＋b)/2]sin[(a－b)/2]
两式相加，得：
sina＋sinb=2sin[(a＋b)/2]cos[(a－b)/2]

cos(a＋b)=cos²[(a＋b)/2]－sin²[(a＋b)/2]
={cos²[(a＋b)/2]－sin²[(a＋b)/2]}/{cos²[(a＋b)/2]＋sin²[(a＋b)/2]
={1－tan²[(a＋b)/2]}/{1＋tan²[(a＋b)/2]}

这两个题，主要涉及到：角的变换、弦化切。

【更新】
sina＋sinb=2sin[(a＋b)/2]cos[(a－b)/2]=1/2
cosa＋cosb=2cos[(a＋b)/2]cos[(a－b)/2]=1/3
两式相除，得：
tan[(a＋b)/2]=3/2
【1】
[sina＋sinb]²＋[cosa＋cosb]²=(1/2)²＋(1/3)²
(sin²a＋2sinasinb＋sin²b)＋(cos²a＋2cosacosb＋cos²b)=13/36
2＋2sinasinb＋2cosacosb=13/36
cos(a－b)=－59/72

【2】
cos(a＋b)=[1－tan²(a＋b)/2]/[1＋tan²(a＋b)/2]=－5/13

Answer 2

(sinα+sinβ)² + (cosα+cosβ)²=1/4 +1/9 = 13/36
(sinα+sinβ)² + (cosα+cosβ)² = sin²α+sin²β+cos²α+cos²β +2 (cosαcosβ+sinαsinβ)
= 2+ 2cos(α-β)
2+2cos(α-β)=13/36
cos(α-β)=-59/72

(sinα+sinβ)² - (cosα+sinβ)²=1/4 -1/9 = 5/36
(sinα+sinβ)² - (cosα+sinβ)² = sin²α+sin²β+cos²α+cos²β - 2 (cosαcosβ - sinαsinβ)
= 2- 2cos(α+β)
2-2cos(α+β)=5/36
cos(α+β)=67/72

Answer 3

第二个式子两边平方与第一个式子两边平方相加得
2+cos(a-b)=13/36
所以cos(a-b)=-59/36

Answer 4

把上边两个式子两边平方，再用平方后的第一个式子加第二个式子，化简后得到要求的的第一个的答案。