Question

求解几道高一数学三角恒等变换的题、高分悬赏 急!!

1.已知sin(π/4+α)sin(π/4-α)=1/6,且α∈(π/2,π),求tan4α的值
2.在△ABC中，已知tanB+tanC+(√3)tanBtanC=√3，且√3(tanA+tanB)=tanAtanB-1,求△ABC的三内角的值
3.已知函数f(x)=2asin^2 x-2√3asinxcosx+b(a＞0)的定义域为[0,π/2]，值域为[-5,4]，求常数a，b的值
4.设向量a=(4cosα，sanα)，b=(sinβ，4cosβ)，c=(cosβ，-4sinβ)
(1)若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值
(2)求|b+c|的最大值
(3)若tanαtanβ=16，求证：a//b
5.已知函数f(x)=√3 sin(ωx+ψ)-cos(ωx+ψ)（0＜ψ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π/2
(1)求f(π/8)的值
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π/6个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间

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Answer 1

1. sin(π/4-α)=cos(π/4+α)
那么就有sin(π/4+α)cos(π/4+α)=1/6
用倍角的正弦公式得到sin(π/2+2α)=1/3 ,即cos2a=1/3
那么(tan2a)^2=(sin2a)^2/(cos2a)^2=(1-(cos2a)^2)/(cos2a)^2=8
由于cos2a>0,所以2a∈(-π/2+2kπ,π/2+2kπ),即a∈(-π/4+kπ,π/4+kπ)
结合α∈(π/2,π),可知a∈(3π/4,π),即2a∈(3π/2,2π)
则tan2a=-2√2
tan4a=(2tan2a)/(1-(tan2a)^2)=(4√2)/7
2.√3(tanA+tanB)=tanAtanB-1化为1-tanAtanB=-√3(tanA+tanB)
把tanB+tanC+(√3)tanBtanC=√3化为(√3/3)(tanB+tanC)=1-tanBtanC
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=(tanA+tanB)/-√3(tanA+tanB)=-(√3/3)
则A+B=150度
tan(B+C)=(tanC+tanB)/(1-tanC*tanB)=√3
则B+C=60度
结合三角形的性质得到A+B+C=180度
解三个方程得到A=120度,B=30度,C=30度
3.用这方法做:设(dsinx-fcosx)^2
展开这个式子得到d^2sin^2 x-2dfsinxcosx+f^2 cos^2 x
cos^2 x化为1-sinx^2...代入上式,并整理得到(d^2-f^2)sin^2 x-2dfsinxcosx+f^2
得到方程组d^2-f^2=2a ,2df=2√3
解得d=√(3a) ,f=√a
所以f(x)可配方成(√(3a)sinx-√acosx)^2-a+b
利用辅助角公式可得到f(x)=4a(√3/2sinx-(1/2)cosx)^2-a+b=4a(sin (x+30度))^2-a+b
所以f(x)在[0度,90度]的最小值为f(0度或90度)=b,最大值为f(60度)=3a+b
结合值域可知b=-5,a=3
4.第一问
b-2c=(sinb-2cosb,4cosb+8sinb)
由a与b-2c垂直可知4cosasinb-8cosacosb+4sinacosb+8sinasinb=0,数量积为0
整理得到4sin(a+b)=8cos(a+b)
即sin(a+b)=2cos(a+b)
tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=2cos(a+b)/(cos(a+b))=2
第二问
b+c=(sinb+cosb,4cosb-4sinb)
|b+c|=√ (sinb+cosb)^2+(4cosb-4sinb)^2=√(17(sin^2 x +cos^2 x)-30sinbcosb)=√17-15sin2b
由于15sin2b的范围是[-15,15]
所以当15sin2b为-15时|b+c|=4√2
第三问
计算4cosα*4cosb-sina*sinb=16cosacob-sinasinb........1式
由tanαtanβ=16得sinasinb=16cosacosb
由此可知1式为0
所以a//b
5... 令ωx+ψ=t
则f(t)=√3 sint-cost=-2cos(t+60度)
把ωx+ψ=t代入上式得f(x)=-2cos(ωx+ψ+60度)
若f(x)为偶函数,则要ψ+60度=k∏,结合0＜ψ＜π可知ψ=120度
由且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π/2可知T=π=2π/ω ,解得ω=2
所以f(x)=2cos2x
第一问f(π/8)=2cosπ/4=√2
第二问 f(x)的递减区间是[kπ,π/2+kπ]
所以g(x)的递减区间[π/6+kπ,2π/3+kπ]
实际上g(x)的单调区间就是在f(x)的单调区间上加上π/6

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