Question

两道数学分析题，有关集的，拜托大家帮忙了！

1. A 是一个无限集，B 为一个可数集， 证明 |A|=|AUB|

2. Prove that there is no set of all linear spaces over R.

Linear space=线性空间。 R=实数

谢谢帮忙啦！！！

Answer 1

无妨设B与A不交（否则考虑差集B\A)。由于A是无限集，所以A存在可数子集C = {c_1, ..., c_n, ...}。设B ＝ {b_1, ..., b_n, ...}。构造A到AUB的一一映射如下：
f(c_2k) = c_k
f(c_2k-1) = b_k
f(x) = x，当x不属于C

第二题我不能保证一定正确。姑且一试。
对于任意一个集合A，A中的元素是线性空间，类似有限的情况，可以定义A中所有线性空间的直和（我还不能把这点严格地写出来），也就是说，如果A中元素是线性空间，那么A可以对应到一个线性空间的直和（还是线性空间）。
这样线性空间的集合与一个线性空间建立了一一对应。
如果T包含了所有的线性空间，那么T的幂集（即所有T的子集的集合）也对应着一个线性空间的集合。由T的最大性，T的幂集对应于T的一个子集。这是不可能的，矛盾。

我的证明唯一有问题的地方是如何定义线性空间的直和，我觉得是可以定义的，但是我不知道如何严格地写出来（可能要用到选择公理？）

Answer 2

1、B属于A，所以A并B=A 得证 A的绝对值=A并B的绝对值

追问

题中并没有说B属于A啊。。。而且那个不是绝对值，是基数