Question

若f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是

Answer 1

对当成求导，得f（x）=3x方 +6ax+6a+6 这是一个二次方程。作图，有极大值又有极小值，所以该方程和x轴有两个焦点。
∵f(x)有极大值又有极小值
∴f'(x)=0有2个不等的实数根
∴Δ=36a²-36(a+2)>0
∴a²-a-2>0
解得a<-1或a>2

Answer 2

解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，
所以△=36a2-36（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．
故答案为：{a|a＜-1或a＞2}

Answer 3

f(x)=x³+3ax²+3(a+2)x+1
f'(x)=3x²+6ax+3(a+2)
∵f(x)有极大值又有极小值
∴f'(x)=0有2个不等的实数根
∴Δ=36a²-36(a+2)>0
∴a²-a-2>0
解得a<-1或a>2