Question

已知函数f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常数a∈R）。 求函数f（x）的单调区间

Answer 1

由f'(x)=a/x-2(x-1)-a=-[2x^2-2x+ax-a]/x=-(2x+a)(x-1)/x=0,得：x=-a/2, 1
定义域为x>0
讨论a:
1）若a>=0,则函数只有一个极值点x=1. 当x>1时，f'(x)<0,函数单调减；当0<x<1时，函数单调增
2）若-2<a<0,则函数有2个极值点x=-a/2, 1,当-a/2<x<1时，函数单调增；当x>1或0<x<-a/2时，单调减。
3）若a=-2, 则f'(x)<=0,函数在x>0上都是单调减
4）若a<-2,则函数也有2个极值点x=1, -a/2, 当1<x<-a/2时，函数单调增；当x>-a/2或0<x<1时，单调减。

Answer 2

解：f′(X)=a/x-2(x-1)-a=[-2x²+(2-a)x+a]/x=0得，x=1或者-a/2
(1)当-a/2=1即a=-2时，0<x<1或者x>1，f′(X)<0,单调递减；
(2)当-a/2>1即a<-2时，0<x<1或者x>-a/2,，f′(x)<0,单调递减；1<x<-a/2,,f′(x)>0,单调递增
（3）当0<-a/2<1即-2<a<0时，0<x<-a/2或者x>1,f′(x)<0，单调递减；-a/2<x<1，f′(x)>0,单调递增。
（4）当-a/2=0时，即a=0, 0<x<1,f′(x)>0,单调递增；x>1时，f′(x)<0，单调递减，
（5）当-a/2<0时，a>0时，0<x<1,f′(x)>0,单调递增；x>1时，f′(x)<0，单调递减，