Question

一道利用导数定义求法线斜率的高数问题,在线求高人帮忙解答

设周期为4的函数在实数域R上可导,且当x趋向于0时,lim(1/2x)[f(1)-f(1-x)]=-1。求曲线y=f(x)在点(9,f(9))处的法线斜率。

Answer 1

我来帮楼主解答吧O(∩_∩)O~
解：当x趋向于0时,lim(1/2x)[f(1)-f(1-x)]=-1，转化一下，当x趋向于0时,lim(1/x)[f(1)-f(1-x)]=-2，即
lim[f(1)-f(1-x)]/x=-2（当x趋向于0），观察此式，发现这就是y=f(x)在点x=1处的导数f'(1)，又周期为4，在实数域R上可导，那么f(1)=f(5)=f(9)=........，可得lim[f(9)-f(9-x)]/x=-2（当x趋向于0），这是y=f(x)在点x=9处的导数f'(9)=-2，即曲线y=f(x)在点(9,f(9))处的切线斜率为-2，那么法线应该和斜线垂直，法线的斜率就是1/2。

希望对楼主有所帮助O(∩_∩)O~

Answer 2

解析：
lim(x→0)1/2x[f(1)－f(1－x)]/2x＝－1
即：
1/2lim(x→0)[f(1－x)－f(1)]/(-x)＝－1
∴1/2f'(1)＝－1
∴f'(1)＝－2
又f(x)是以4为周期的函数，所以有
f(1)＝f(5)＝f(9)
∴f'(9)＝f'(1)＝－2
所以切线斜率为－2
因此法线斜率为1/2

Answer 3

倒数定义为lim(△x→0)(f(x+△x)-f(x)/△x
由题意lim(△x→0)(f(1)-f(1-△x)/2△x=f'(1)/2=-1，得f'(1)=-2，周期为4得f'(9)=f'(1)=-2，法线斜率为 k= -1/-2= 1/2

Answer 4

Answer 5