Question

如图,以知BD是圆O的直径,A为BD延长线上的一点,AC与圆O相切于点E,CB垂直AB，AE∶EC=2∶1，DE＋BE=4+2√2

如图,以知BD是圆O的直径,A为BD延长线上的一点,AC与圆O相切于点E,CB垂直AB，AE∶EC=2∶1，DE＋BE=4+2√2，则三角形ABC的面积是多少？

Answer 1

连接OE、BE、DE，设CE=x，圆O半径为r，AD=y
已知AE/EC=2/1，所以：AE=2CE=2x
因为AC为圆O的切线，所以：OE⊥AC
且，∠AED=∠ABE
又，CB⊥AB
那么：Rt△AEO∽Rt△ABC
所以：AE/AB=AO/AC=OE/BC……………………………………（1）
即：2x/(2r+y)=(r+y)/3x……………………………………（2）
而，△AED∽△ABE
所以：AE/AB=AD/AE=DE/BE……………………………………（3）
即：2x/(2r+y)=y/2x…………………………………………（4）
由(2)(4)得到：
(r+y)/3x=y/2x
所以：y=2r
代入(4)得到：y=√2x
代入(3)中AD/AE=DE/BE得到：y/2x=DE/BE
所以：DE/BE=√2/2
即：BE=√2DE
已知，DE+BE=4+2√2
所以：DE+√2DE=4+2√2
则，DE=2√2
所以，BE=√2DE=√2*2√2=4
已知BD为圆O直径，所以△BED为直角三角形
那么，在Rt△BED中，由勾股定理得到：BD^2=BE^2+DE^2
即：(2r)^2=16+8=24
所以，r=√6
则：y=2r=2√6、x=y/√2=2√3
所以：
AC=3x=6√3、AB=2r+y=4√6
那么，在Rt△ABC中由勾股定理得到：
BC^2=AC^2-AB^2=108-96=12
所以，BC=2√3
所以，△ABC面积S=(1/2)AB*BC=(1/2)*4√6*2√3=12√2

Answer 2

连接OE，OE⊥AC⊥ 设OE＝R ∥ ≌ ∽ ∠ △√
由已知得，EC和BC都是圆O切线
EC=BC
AE∶EC=2∶1，AC=3EC
AC=3BC
RT△AOE ∽ RT△ABC
OE/OA=BC/AC=1/3,OA=OE+AD
OE/(OE+AD)=1/3,R/(R+AD)=1/3,
AD=2R,
AE是圆O切线
∠AED=∠ABE,因∠EAD=∠EAB
△ADE ∽ RT△ABE
AE^2=AD*AB,AE^2=AD*(AD+DB)=2R*(2R+2R)=8R^2
AE=2√2R
BE/DE=AB/AE=4R/2√2R=√2
BE=√2DE,因DE＋BE=4+2√2，得
DE＝2√2，BE=4
DB^2=DE^2+BE^2
4R^2=8+16=24
R^2=6
S△AEO=1/2AE*R=1/2*2√2R^2=1/2*2√2*6=6√2
S△AEO:S△ABC=(0A/AB)^2=(3R/4R)^2=9/16
S△ABC=16/9*6√2=32√2/3

Answer 3

连接OE，OC。显然OC⊥ BE,故DE//OC
AD：DO=AE∶EC=2∶1 ，所有AB=4OB
由AE∶EC=2∶1，又BC=EC有： AC=3BC，从而AB=2√2BC， 又AB=4OB 推出：OB=√2/2BC
即：BC：OB=√2
DE//OC可知：BE：DE=BC：OB=√2，又由题意：DE＋BE=4+2√2
可知：DE=2√2，BE=4.
得：BD=2√6，AB=4√6，BC=√2 OB=2√3
S△ABC=(1/2)AB*BC=(1/2)*4√6*2√3=12√2