Question

设函数f(x)=ax²-xlnx-(2a-1)x+a-1(a属于R) 0时,f

设函数f(x)=ax²-xlnx-(2a-1)x+a-1(a属于R)
1.当a=0时,求函数f(x)在点P(e,f(e))处的切线 2对任意的x属于[1,正无穷大)函数f(x)大于等于0恒成立,求实数a的取值得范围

Answer 1

第1问：a=0时，f(X)=-x Inx+x-1,所以f'（X）=-InX,
所以在点P(e,f(e))处的切线斜率k=-Ine=-1,f(e)=-1
所以切线过点（e,-1)
所以切线方程为y+1=(x-e)(-1)
为y=-x+e-1

第二问：因为对任意X∈［1,∞),f(X)≥0恒成立，
所以f'（X）=2ax-2a-Inx,
所以［f'(x)］'=2a-1/x=(2ax-1)/x,
因为x∈［1,∞),f'(1)=0
所以只要［f'(x)］'≥0，则f'（X）≥f'(1)=0，则f'(x)恒递增，则f(x)≥f(1)=0
所以只要2ax-1≥0，所以a≥1/2
即a的取值范围为a≥1/2

Answer 2

因为对任意X∈［1,∞),f(X)≥0恒成立，
所以f'（X）=2ax-2a-Inx,
所以［f'(x)］'=2a-1/x=(2ax-1)/x,
因为x∈［1,∞),f'(1)=0
所以只要［f'(x)］'≥0，则f'（X）≥f'(1)=0，则f'(x)恒递增，则f(x)≥f(1)=0
所以只要2ax-1≥0，所以a≥1/2
即a的取值范围为a≥1/2