Question

若a、b、c为三角形的三边，试说明（a²+b²-c²）-4ab的值一定为负

Answer 1

　　原式可化为（a-b)²-c²-2ab 因为三角形两边之和小于第三边 故a-b<c 故（a-b)²＜c²即（a-b)²-c²＜0 而三角形三边均为正数 所以-2ab＜0 所以（a²+b²-c²)-4ab的值一定为负

Answer 2

题目应该是这样的:

若a、b、c为三角形的三边，试说明（a²+b²-c²）²-4a²b²的值一定为负.

证明：(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²)²－(2ab)²
=(a²+b²-c²＋2ab)(a²+b²-c²－2ab)
=[(a＋b)²－c²][(a－b)²－c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)

∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+b+c＞0,

由三角形的三边关系: 两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得
a+b＞c, a+c＞b, b+c＞a

∴a+b-c＞0, a-b+c＞0, a-b-c＜0

∴(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)＜0

即: （a²+b²-c²）²-4a²b²的值一定为负.

追问

不是啊！
卷子上就是 若a、b、c为三角形的三边，试说明（a²+b²-c²）-4ab的值一定为负

Answer 3

a、b、c为三角形的三边
a-b＜c
a²+b²＜c²
a²+b²-c²＜0

a ＞0 b＞0 c＞0 2an＞0 －2ab＜0
（a²+b²-c²）-2ab
=(a-b)²-c²-2ab＜0

所所以（a²+b²-c²）-4ab的值一定为负

Answer 4

根据三角形三边和三角的关系可得
（a²+b²-c²）/2ab=cosC
∴a²+b²-c²=2abcosC
∵C是三角形的一个角，所以0<C<180°
∴-1≤cosC≤1
∴2abcosC<2ab<4ab
∴（a²+b²-c²）-4ab<0