Question

已知双曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，点P（0,1)与其渐近线的距离为1/

已知双曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，点P（0,1)与其渐近线的距离为1/2,且点关于渐近线的对称点在双曲线c上;直线l:y=×+m交双曲线C于A,B两点;
(1)求双曲线C的方程.
(2)当向量PA乘以向量PB最小时,求直线l的方程.
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问题从第二个已知开始

Answer 1

答：(1)设双曲线的方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0，b>0)，则该双曲线的渐近线是y=bx/a和y=-bx/a。
因为点P（0,1）与渐近线y=bx/a的距离为1/2，所以可以得到b/a=√3， ①
且P点关于y=bx/a的对称点Q的坐标是（√3/2,1/2）。
把Q点的坐标代入双曲线方程x²/a²-y²/b²=1中，得到3/a²-1/b²=4， ②
把方程①②联立，解得a=√6/3，b=√2
所以，双曲线的方程为3x²-y²=2
(2)设A（y1-m，y1)，B（y2-m，y2），则向量PA=(y1-m，y1-1)，向量PB=(y2-m，y2-2)
把直线l:y=×+m与双曲线方程3/a²-1/b²=4联立，得到2y²-6my+3m²-2=0， ③
并且y1，y2是方程③的两个根，所以y1+y2=3m，y1*y2=（3m²-2)/2 ， ④
向量PA乘以向量PB=（y1-m）（y2-m）+（y1-1）（y2-2）=2y1*y2-(m+1)(y1+y2)+m²+1 ⑤
把④代入⑤中，得到向量PA乘以向量PB=m²-3m-1，
当m=3/2时，向量PA乘以向量PB的值最小，所以直线l的方程是y=x+3/2.